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四章四节 不定积分 有理函数的积分

4110人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    有理函数的积分

    定义1 两个多项式的商P(x)/Q(x)称为有理式

    定义2 若分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时,称此有理式为真分式,否则称为假分式

    定理:利用多项式除法,总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式

    g(x)/f(x) = q(x) + r(x)/f(x)

    注:几个例子

    引入参数A,B,C,求出后利用对数公式求积分

    对分母部分幂次大于1,拆分方式略有不同,从最高幂次开始,每次减1,做为拆分项,类似的如果是立方,要拆成()^3,()^2,()三项,然后求出A,B,C,利用对数积分方法进行积分

   

        对于分母存在无实根部分,拆分方式又有不同,拆分项的分子部分次数比分母低一阶,然后算出A,B,C,利用先前所学知识求解(分母凑成a²+x²形式)

    可化为有理函数的积分

   

    利用换元去掉根号

    如果被积函数中含有简单根式(ax+b)^(1/n)或[(ax+b)/(cx+d)]^(1/n),可以令这个简单根式为u,由于这样的变换具有反函数,且反函数是u的有理数,因此原积分即可化为有理函数的积分。


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