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二章四节 导数与微分 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

4307人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    隐函数的导数

    隐函数的定义

    一般的,如果变量x和y,满足一个方程F(x, y) = 0,在一定条件下,当x取某区间内的任意值时,相应的总有满足这方程的唯一的y值存在,那么就说方程F(x, y) = 0在该区间内确定了一个隐函数

    注:隐函数导数dy/dx的计算方法

    (1)对方程两端同时关于x求导,把y作为x的函数来看待。

    (2)从求导后的方程中解出y'。

    (3)隐函数求导允许其结果中含有y,但求某一具体点的导数值时,不仅要把x值代入,还要根据F(x, y) = 0计算出y,一并代入求导后的结果。

    1、由参数方程所确定的函数的定义

    一般的,若参数方程{ x=x(t), y=y(t),确定y与x间的函数关系,则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数

    2、由参数方程所确定的函数的导数

    根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则,就有

    dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = y'(t)/x'(t)

    如查x=x(t),y=y(t)还是二阶可导的,那么又可得到函数的二阶导数公式

    d²y/dx² = d/dx*(dy/dx) = d/dx*(y'(t)/x'(t)) = d/dt*(y'(t)/x'(t))*1/(dx/dt) = d/dt*(y'(t)/x'(t))*1/x'(t)

    幂指函数的导数

    设y=uᵛ (u>0),如果都可导,则

        y = e^(lnuᵛ) = e^(vlnu)

    所以

    y' = (e^(lnuᵛ))' = e^(lnuᵛ) * (v'lnu + vu'/u) = uᵛ(v'lnu + vu'/u)


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