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一章八节 函数与极限 函数的连续性与间断点

360人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    函数的连续性

    定义1 设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内有定义,如果

                                  lim[x->x₀]f(x) = f(x₀),

    那么就称函数f(x)在点x₀连续

    也即:f(x)在点x₀连续<=> ∀ ε > 0, ∃ δ > 0,当 0 < | x - x₀ | < δ时,有 | f(x) - f(x₀) | < ε

    定义2 设函数y=f(x)在点x₀的某一邻域内有定义,如果

                       lim[△x->0]△y = lim[△x->0][f(x₀+△x) - f(x₀)] = 0,

    那么就称函数y=f(x)在点x₀连续

    左、右连续

    定义3 如果lim[x->x₀⁻]f(x)存在且等于f(x₀),即

                     lim[x->x₀⁻]f(x) = f(x₀)

    就说函数f(x)在点x₀左连续

    定义4 如果lim[x->x₀⁺]f(x)存在且等于f(x₀),即

                   lim[x->x₀⁺]f(x) = f(x₀)

    就说函数f(x)在点x₀右连续

    【连续的核心】根限值等于定义值

    函数的间断点

    (1)在x = x₀没有定义:f(x) = sinx / x 在x = 0时

    (2)虽在x = x₀有定义,但lim[x->x₀]f(x)不存在(极限不存在):

      f(x) = sinx / x     ( x > 0)             f(x) = 2    (x = 0)    f(x) = sinx / x - 2    (x < 0)     在x = 0时

    (3) 虽在x = x₀有定义,且lim[x->x₀]f(x)存在,但lim[x->x₀]f(x) f(x₀)(根限值不等于函数值

      f(x) = sinx / x,x≠0                  f(x) = 2,x=0              在x = 0时

    定义5 函数f(x)在点x₀为不连续,且lim[x->x₀]f(x)存在,则称x=x₀为f(x)的可去间断点(如sinx/x在x=0处)

    定义6 若函数f(x)在点x₀的左、右极限均存在,且lim[x->x₀⁺]f(x) lim[x->x₀⁻]f(x),则称x=x₀为f(x)的跳跃间断点(如sgn(x)在x=0处)

    注:可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点

    定义7 若函数f(x)在点x₀的左极限或右极限为无穷大,即lim[x->x₀]f(x) = ,则称x = x₀为f(x)的无穷间断点(如1/x在x=0处)

    定义8 若函数f(x)在点x₀的极限为振荡型的不存在,则称x=x₀为f(x)的振荡间断点(如1/x*sin1/x在x=0处)

    定义9 非第一类间断点称为第二类间断点

    注:第二类间断点不止定义7和定义8的情况


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