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一章一节 函数与极限-函数

4708人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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说明:本节主要介绍函数的定义,性质,基本初等函数,复合函数和分段函数

  一、函数概念

  1. 函数定义

  如果对于给定的x∈D,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y是x的函数,记作y=f(x),数集D叫做这个函数的定义域,x叫做自变量,y的取值范围叫函数的值域,y叫做因变量

  2. 反函数定义

  设y=f(x)的定义域为Df,值域为Vf,对∀y∈Vf,在Df上可以确定一个x,满足y=f(x),如果把y看作自变量,x看作因变量,可得新的函数:

    x=f ⁻¹(y),

  称x=f ⁻¹(y)为函数y=f(x)的反函数,把函数y=f(x)称为直接函数

  注:1:只有一一对应的函数才有反函数,所以单调函数一定存在反函数;2:直接函数与反函数的图像关于y=x直线对称;3:f⁻¹[f(x)]=f[f⁻¹(x)]=x

  二、函数的基本性质

  1、有界性

  若∃M>0,使得∀x∈I,有|f(x)|≤M,则称f(x)在区间I上是有界函数,若不存在这样的正数,则称f(x)在区间I上无界

  2、单调性

  对于区间I⊂D内任意两点x₁<x₂,恒有f(x₁)<f(x₂),称函数在区间I上是单调增加,反之称为在区间上单调减少。

  3、奇偶性

  若函数f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数,若函数f(x)在关于原点对称的区间I上满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数

  注:1:偶函数的图形关于y轴对称;奇函数的图形关于原点对称;2:奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数;3:奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数

  4、周期性

  ∀x∈D,∃T,使得f(x)=f(x+T),那么说f(x)为以T为周期的周期函数

  三、基本初等函数

  1、幂函数y=xᵃ(a为常数)

  2、指数函数y=aˣ(a>0且a≠1)

 

  特殊的,当a=e时,y=eˣ

  3、对数函数y=logₐx(a>0且a≠1)

  

  特别的,当a=e时,y=lnx

  4、三角函数

  y=sinx

  y=cosx

  y=tanx

  y=cotx

  y=secx=1/cosx

  y=cscx=1/sinx

 

  y=arcsinx

  y=arccosx

  y=arctanx

  y=arccotx

  注:有些函数与另一些函数是反函数的关系,图形关于y=x对称

  四、常见的函数类型

  1、复合函数

  若y=f(u),u=φ(x),当(x)的值域落在f(u)的定义域时,称y=f[φ(x)]是由中间变量u复合成的复合函数

  2、分段函数

  y=[x],取整函数(还可细分为向上取整和向下取整)

  sgnx函数

  |x|函数


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