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二轮考点全解 十二章 无穷级数

1786人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    常数项级数的概念和性质

    重要概念

    常数项(无穷)级数 收敛 发散 数列 正项级数 交错级数 任意项级数 收敛级数 

    公式定义性质

    典型例题

    注:中学的等差数列求和

    注:裂项相消

    常数项级数的审敛法

    重要概念

    正项级数 比较审敛法 比较审敛法的极限形式 P级数 P级数的推广形式 几何级数 比值审敛法(达朗贝尔判别法) 根值审敛法(柯西判别法) 交错级数 莱布尼茨定理 做差 做比 连续化 任意项级数 绝对收敛 条件收敛 

    公式定义性质

    使用场景

    使用场景

    注:比值判别法使用范围比根值判别法大

    典型例题

    注:抓大头,找等价

    注:找等价

    注:找等价

    注:比值判别法

    注:比值判别法

    注:比值判别法

    注:莱布尼茨判别法

    注:绝对收敛法

    绝对收敛

    故为条件收敛

    注:C

    注:C,收敛+发散=发散

    冥级数

    重要概念

    函数项级数 收敛点 发散点 收敛域 发散域 收敛区间 和函数 冥级数 阿贝尔定理 收敛半径 标准冥级数 缺项冥级数 逐项可导性 逐项可积性 冥级数求和

    公式定义性质

    注:一般性方法

    二、冥级数及其敛散性

    注:缺项也可用阿贝尔定理,ρ最后要乘方(开方)修正一下(如aₙx²ⁿ,最后ρ开二次方,aₙx^(1/2),最后ρ平方一下)

    典型例题

    注:x=2在收敛半径内

    注:求出收敛半径,讨论端点

    注:收敛半径为无穷的情况

    注:收敛半径为0的情况

    注:-3时发散,3时收敛,故收敛区间为

    注:对于缺项的冥级数,用求函数项级数收敛半径的方法,即带上x作商,使ρ<1,求出x的范围

    注:同样是缺项冥级数

    注:收敛区间

    注:求出收敛域,用求导积分法求出和函数,注意讨论端点

    注:求导积分法求和函数,注意和式的起始值

    注:这里凑常用和函数时注意是提出一个-x而不是除以一个x,因为除以x要x不为0,要讨论,比较麻烦

    注:注意具体型问题最后可以求出C₁,C₂

    函数展开成冥级数

    重要概念

    函数展开成冥级数 泰勒级数 麦克劳林级数 

    公式定义性质

    典型例题

    注:下面是合并两个前n项和

    注:注意最后要写收敛域

    傅里叶级数

    重要概念

    傅里叶级数 傅里叶系数 收敛定理(狄利克雷充分条件) 正弦级数 余弦级数 

    公式定义性质

    注:注意n的起始值

 

    典型例题

    注:求aₙ,bₙ,和函数图形即f(x)的图形

    注:求aₙ,bₙ,a₀,和函数图形即f(x)的图形

    注:收敛于左右极限的一半

    注:基本的求bₙ的某一项

    注:f(x)是奇函数,故傅里叶级数为正弦级数

    注:f(x)为偶函数,展开为余弦级数

    注:延拓

    注:对a₁要特殊处理,求出的级数要从n=2开始展开

    注:利用奇、偶延拓

    注:利用偶延拓,求aₙ时注意处理分母为0的情况

    注:C,l = 1,利用偶延拓,延拓后F(x)图像

    对应的s(x)的图像

    注:利用求出的余弦级数求和


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