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二轮考点全解 十一章 曲线积分与曲面积分

2915人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    对弧长的积分

    重要概念

    对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) 

    公式定义性质

    注:第一类曲线积分积分结果与积分方向无关

    下面是三元函数的情况

    注:上面说的是奇偶性

    注:上面说的是轮换对称性

    注:上面说的是参数方程的情况

    典型例题

    注:直角坐标下的第一类曲线积分

    注:积分区域如下,有对称性,用转动惯量的公式

    注:直角坐标系下的曲线积分

   注:直角坐标下的曲线积分

    注:直角坐标下的曲线积分,先化简再利用对称性

    注:三元函数的曲线积分,参数式

    注:此题有技巧,(x+y+z)²-(x²+y²+z²) = 2(xy+xz+yz) = -1,而xy,xz,yz有轮换对称性,即被积函数为xy,xz,yz时的结果是一样的,故∫˪xyds = 1/6∫˪xy+xz+yzds = 1/6∫˪-1ds,求出即可,另球面球心在原点,平面过原点,故交线切球面的交线为直径最大的圆

    对坐标的曲线积分

    重要概念

    对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)

    公式定义性质

    注:(3)表示积分结果与路径有关

    注:下面讲平面曲线的情况

    注:参数方程的情况

    注:y为x函数的情况,看成是一种特殊的参数方程

    典型例题

    注:抛物线写成参数方程,用参数方程的曲线积分做

    注:(1)L为半圆,用参数方程形式,(2)L为一个线段,用参数方程形式

    注:(1)y是x的函数,对x积分,(2)x是y的函数,对y积分,(3)分成OA,OB两段曲线分别积分

    注:变力沿曲线做功的问题,表示出F,确定曲线L,第二型曲线积分

    注:空间第二类曲线积分,L化成参数方程形式

    注:空间第二类曲线积分,L化成参数方程形式

    格林公式及其应用

    重要概念

    格林公式 封闭区域 补线 挖洞 正方向 积分与路径无关

    公式定义性质

    注:曲线的方向:以人站立为例,左手落在阴影中,人的方向即曲线方向

    注:对第二型曲线积分,何时选用格林公式呢?如果两个偏导数之差简单就用格林公式

    注:利用第二型曲线积分求面积的方法

    注:当不能直接用格林公式时,如不是封闭区线时,补线使形成封闭区域,当封闭区域有不可导点时,挖洞去掉不可导点

    注:对(3),求u(x, y)的方法如下

    典型例题

    注:先用格林公式再用极坐标

    注:原被积函数不好处理,利用格林公式反推化成第二型曲线积分的形式再处理

    注:利用第二型曲线积分求面积,化成参数方程形式

    注:对x, y两个偏导数之差为0,奇点为(0, 0)点,分(0,0)点在积分区域和不在积分区域讨论,当在积分区域中时挖洞,挖出一个小圆,再用格林公式处理

    注:直接用格林公式

    注:积分区域如下,须补红色的一条线形成封闭区域,最后减去红色曲线的积分

    注:两个偏导数相等,说明与路径无关,也即是某个函数的全微分,再用求全微分的方法求这个函数

    注:两个偏导数相等(∂Q/∂x=∂P/∂y),说明与路径无关,也即是某个函数的全微分,再用求全微分的方法求这个函数


   

注:全微分方程应满足,可以求出原函数u(x, y),用求全微分的方法求出u(x, y)

    还可以用偏积分的方法

    注:路径无关P,Q的偏导数相等,得到关于f(x)的等式,求解得出f(x)


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