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二轮考点全解 十章 重积分

1878人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    二重积分的概念与性质

    重要概念

    二重积分 积分区域 被积分函数 积分变量 中值定理 最值定理 

    公式定义性质

    典型例题

    注:重积分比较定理

    注:0/0型未定型,中值定理消积分号

    二重积分的计算法

    重要概念

    直角坐标 x型积分 y型积分 

    公式定义性质

    注:x型积分,先y后x 极坐标 

    注:y型积分,先x后y

    注:可能用到极坐标的情况

    典型例题

    注:积分区域如下,用x型积分和y型积分都可以

     注:积分区域如下,分析被积函数,知先对y积分比较容易,故选x型积分

    注:积分区域如下,选y型积分比较好

    注:图形如下,以相交部分的中心为原心建立空间直角坐标系

    注:dxdy = rdrdθ,x = rcosθ,y = rsinθ

    注:积分区域为圆,被积函数适合极坐标的形式,转化为极坐标的形式计算

    注:被积函数中有x²+y²的形式,积分区域是图的一部分,用极坐标

    注:体积如下,分析知用极坐标比较好

    二重积分的对称性

    重要概念

    对称性 轮换对称性 奇偶性 

    公式定义性质

    

    注:二重积分的计算方法:直接法中有直角坐标法和极坐标法,技巧法中有利用奇偶性和轮换对称性法

    典型例题

    注:积分区域如下,利用奇偶性

    注:做二重积分首先找积分区域,做辅助线,分成两个有对称性的区域分别计算

    注:被积函数含有抽象的部分,想到用对称性(奇偶性),积分区域如下(做辅助线)

    注:积分区域关于y=x对称,具有轮换对称性,

    注:积分区域如下,关于y=x对称,用轮换对称性

    二重积分的综合题目的计算

    重要概念

    交换积分次序 

    解题思路

    典型例题

    注:通过奇偶性化简,再用极坐标

    注:积分区域如下,具有轮换对称性

    注:积分区域如下,关于x轴对称,用奇偶性化简,再用极坐标计算

    注:这个不容易看出积分区域,化回直角坐标再进行计算

    注:分割积分区域,消去取整符号,积分区域如下

    注:分割区域,消去绝对值号

    注:重点是作出积分区域,可能要分割积分区域

    注:重点是作出积分区域,积分区域如下

    注:重点在做出积分区域,积分区域如下

    注:直接积分积不出来,交换积分次序

    注:直接积分不好积,交换积分次序

    注:交换积分次序

    注:重点在找出积分区域,二次化二重,二重化二次,积分区域如下

    注:重点在找积分区域,积分区域如下

    注:重点在找积分区域,积分区域如下

    注:极限化积分

    注:分析函数知f(x, y)为xy加一个数,排除B选项,积分区域如下,二重积分看成一个数A,函数两边同时二重积分,左边即A

    注:做如下积分区域,利用夹逼准则证明,

    注:D₁是小1/4圆周,D₂是正方形,D₃是大1/4圆周

    三重积分

    重要概念

    三重积分 中值定理 奇偶性 轮换对称性 直角坐标 柱坐标 球坐标

    公式定义性质

    注:技巧法和二重积分类似如下:

    注:交换自变量,看积分区域方程是否改变,不变的即具有轮换对称性

    注:先一后二的投影法适合积分区域是x,y的函数,先二后一的截面法更适合积分区域是z的函数,

    注:柱坐标的实质:先一后二,先二后一中的二用极坐标表示

    注:只要知道φ,θ,r就可以确定空间中的一个点

    典型例题

    注:积分区域如下,用先一后二的投影法求

    注:积分区域具有轮换对称性,被积函数看成6x,再用先一后二的投影法来做

    注:被积函数只是z的函数,适合用先二后一的截面法

    注:先二后一比较好,二用极坐标

    注:用球坐标系做,确定φ,θ,r三个参数

    注:积分区域如下,先用奇偶性化简被积函数,再用球坐标计算

    重积分的应用

    重要概念

    曲面的面积 质心 转动惯量 万有引力

    公式定义性质

    设物体占有有界空间区域Ω,在点(x, y, z)的密度为ρ(x, y, z),且在区域Ω上连续,在Ω外有一单位质量的质点M₀(x₀, y₀, z₀),则物体对质点M₀的引力为F={Fx,Fy,Fz},则

    典型例题

    注:积分区域如下,算出偏导数,用公式计算

     注:积分区域,用求质心的公式,用极坐标进行计算

    注:三维空间下的三元积分,积分区域如下,用球坐标

    注:质量均匀,用公式

    注:积分区域如下,求dσ的转动惯量,再对整个区域积分

    注:积分区域如下,转动惯量的公式,用球坐标计算

    注:积分区域如下,由对称性可知,Fx和Fy为0,只要求Fz,带入公式求即可


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