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二轮考点全解 九章 多元函数微分法及其应用

2200人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    多元函数的基本概念

    重要概念

    平面点集 邻域 去心邻域 多元函数 二元函数 二元函数极限 二元函数连续性 

    公式定义性质

    

    注:区分内点,外点,边界点

    典型例题

    注:V = πr²h,V是r,h的二元函数

    注:二元函数

    注:二元函数

    注:被开方数大于等于0,分母不能为零,对数真数大于0

    注:找两条路径极限不相等,如y=k₁x, y=k₂x

    注:已定式,直接做

    注:0/0型,等价无穷小

    注:0/0型,等价无穷小

    注:无穷小乘有界

    注:极限值等于函数值

    注:函数值不存在

    注:上面看成一个无穷小乘有界

    偏导数及多元复合函数的求导法则

    重要概念

    偏导数 一阶偏导数 高阶偏导数 多元复合函数 

    公式定义性质

    注:曲面上某点偏导数看成过该点平行于x(y)轴的平面与曲面的交线的切线

    注:找准因变量,中间变量,自变量

    典型例题

    注:用定义,极限值等于函数值连续,左右偏导数存在不相等

    注:同上,用定义

    注:用定义求

    注:用偏导数的求导法

    注:用偏导数的求导法

    注:用偏导数的求导法

    注:x,y,z有轮换对称性,只求一个即可,其它两个换未知数即可

    注:基本的求偏导计算

    注:基本求偏导的运算

    注:x,y,z具体轮换对称性,只要求一个

    注:偏导数的基本运算

    注:冥指函数,化为指数为底

    对自变量求导

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    注:全微分方程,二阶偏导数的计算

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

 

    注:两个函数的情况,每一个求偏导相加

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    注:先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    全微分及全微分的形式不变性

    重要概念

    全微分 全微分形式不变性 可微 可导 连续 

    公式定义性质

    注:可微不能推出一阶偏导数连续,一阶偏导数连续一定可微

    注:求导到中间变量和自变量结果是一样的,所以计算时可以先对中间变量求导,中间变量再对自变量求导

    注:和求导结果类似,由此引出全微分的四则运算

    典型例题

    注:全微分定义,求出偏导数相加

    注:全微分定义

    注:全微分定义,三个自变量,求三次偏导

    注:由极限得出分子是分母的高阶无穷小,得出f(x, y)带高阶无穷小的函数形式,用定义求出f'ₓ和f'ᵧ,得出全微分

    注:用连续,可导,可微,一阶偏导数连续的性质

    注:用可微判定的定义法

    注:利用全微分形式的不变性

    注:两边全微分,用全微分的四则运算

    注:全微分的四则运算

    隐函数的求导公式

    重要概念

    隐函数 二元隐函数 隐函数存在定理 

    公式定义性质

    典型例题

    注:求x,y偏导,组成全微分或者直接求全微分或者用公式法

    注:一阶求偏导尽量用公式法

    注:求偏导法,微分法,公式法三者选一

    注:求偏导数,有中间变量

    注:求二阶偏导数

    注:f'ᵧ不为0,说明能唯一确定一个连续导数

    注:x(y或z)偏导数不为0即可确定z(y或z)的函数

    注:两个方程先求x偏导数, 得出∂u/∂x和∂v/∂x,同理两个方程对y求偏导,得出∂u/∂y和∂v/∂y

    多元函数极值及其求法

    重要概念

    多元函数极值  多元函数最值 无条件极值 等式约束条件的极值(拉格朗日乘数法) 有界闭区域上的二元连续函数的最值

    公式定义性质

    典型例题

     注:二元函数求极值

    注:可微连续,用无条件极值判断的充分条件求是否是极值

    注:一阶偏导为0,看B²-AC的情况

    注:用无条件极值的充分条件

    注:一元函数求极值,一阶导数为0,求出对应x,y, 看二阶导数情况

    注:二元函数求极值,求一阶偏导,令为0 ,求出x,y,z,看二阶的情况,计算量较大,需要细心

    注:条件极值,用拉格朗日乘数法

    注:条件极值,用拉格朗日乘数法,四个未知数

    注:条件极值,用拉格朗日乘数法,四个未知数

    注:求原函数可以用凑微分法

    或者用偏积分法

 

    分为椭圆域内和边界上,椭圆域内用无条件极值,边界上时椭圆方程代入原函数,消去一个自变量,讨论一个自变量的情况

    二元函数的泰勒公式

    重要概念

    二元函数的泰勒公式 余项 增量

    公式定义性质

    典型例题

    注:展开式如下,代入计算,计算量较大

    注:二阶展开式如下,代入计算

    多元函数微分学的几何应用

    重要概念

    空间曲线的切线与法平面 空间曲面的法线与切平面

    公式定义性质

    注:方向向量的另一种求法

    典型例题

    注:求出方向向量,对称式切线方程,点法式法平面方程

    注:两个方程对x求导,求出y,z对x的偏导即求出方向向量,又知一点可求所求

    注:即切线与平面法向量垂直

     注:求法向量,又知一点可得所求,重要是求偏导数

     注:求法向量,又知一点可得所求,重要是求偏导数

    注:求法向量,又知一点可得所求,重要是求偏导数

    注:求法向量,又知一点可得所求,重要是求偏导数

    方向导数和梯度

    重要概念

    方向导数 梯度

    公式定义性质

    注:即方向导数沿梯度方向最大

    典型例题

    注:算偏导,方向余弦,方向余弦即向量单位化后的值

    注:用三个变量的方向导数求法的公式

    注:求偏导数,加上i, j

    注:即与梯度方向的关系

    注:三个变量的梯度

    注:求梯度,先求偏导数


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