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二轮考点全解 八章 向量代数与空间解析几何

2751人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

链接:https://www.qingyu.blue/article/239

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    说明:本章开始为高等数学下册的内容

    向量及其线性运算

    重要概念

    向量  向量的模 单位向量 两向量间的夹角 空间直角坐标系 方向角 向量的方向余弦 

    公式定义性质

    典型例题

    注:解方程,向量的加减运算

    注:设出M,求出结果,记住结论

    注:模长相等

    注:设出点,两点间距离公式

    注:单位化

    注:三个方向角余弦的平方和为1,求出第三个方向角,方向角余弦乘模长为该方向大小

    注:投影等于原向量乘以投影方向的夹角的余弦值

    数量积 向量积 混合积

    重要概念

    数量积 向量积 混合积 

    公式定义性质

    性质:

    典型例题

    

    注:简单计算

    注:模长公式,凑出差的平方,利用前两个式子

    注:通过点乘求出夹角

    注:简单计算

    注:向量积求面积

    注:混合积求体积,四面体体积公式V=1/3*S*h

    注:混合积为0共面

    注:运算性质,混合积中有两项相同结果为0

    空间平面及其方程

    重要概念

    平面 平面方程 平面法向量 点法式 一般式 截距式 三点式 两平面间的夹角

    公式定义性质

    注:点法式是用的最多的形式

    典型例题

    注:点法式

    注:向量积求出法向量,点法式

    注:过x轴,A,D为0

    注:截距式

    注:即求两平面法向量夹角

    注:要求平面法向量垂直M₁M₂和已知平面法向量,用向量积,点法式

    注:点到平面间的距离公式

    空间直线及其方程

    重要概念

    空间直线 方向向量 直线方程 一般式 对称式 参数式 两点式 平面束 两直线的夹角 直线与平面的夹角 

    公式定义性质

    求方向向量:方向向量与两平面的法向量平行,所以用向量积

    注:两平面交线

    注:由方向向量和一点确定,类似平面方程中的点法式

    注:表示过一直线的所有平面,也可以写成下面的形式,但不能取到第二个平面

    典型例题

    注:找到方向向量和一个点,找点可以先设一个方向的坐标,如x=1,方向向量用向量积得到

    注:通过方向向量求

    注:求出方向向量,用对称式方程

    注:求出方向向量,用对称式方程

    注:三式联立,或用直线的参数方程,代入平面方程求出参数

    注:先求过已知点和已知直线垂直的平面,则所求直线一定在该平面内,求出该平面与已知直线的交点,该交点也即所求直线与已知直线的交点,两个点可以确定一条直线

    注:过已知直线且与已知平面垂直的平面与已知平面的交线即为所求,用到了平面束,平面法向量垂直

    注:平面法向量即直线方向向量

    注:平面法向量与两直线方向向量都垂直,用向量积

    注:用公式

    注:直线间的距离公式

    曲面及其方程

    重要概念

    曲面 曲面方程 旋转曲面 柱面 锥面 二次曲面  

    公式定义性质

    注:对这种在一个坐标面内,绕一个轴旋转(如在yoz平面内,f(y, z) = 0,此时x = 0,绕z轴旋转,则z不变,将y变成sqrt(x²+y²),即为空间曲面的方程,即f(sqrt(x²+y²), z) = 0),则绕的轴不变,另一个变量变成另两个轴的根号下平方和

    典型例题

    注:用上面总结的内容,旋转出来的内容如下

    空间曲线及其方程

    重要概念

    曲线 空间曲线方程 一般式 参数式 投影

    公式定义性质

    注:对比空间直线由两平面相交构成,空间曲线由两曲面相交构成

    注:三个未知数消掉一个,剩两个未知数来参数化,第三个未知数用剩余的两个表示

    典型例题

    注:表示图形如下

    注:表示图形如下

    注:消z,与z=0联立

    注:消z,与z=0联立

    注:消z,与z=0联立

    注:是求投影曲线方程,求zox面投影曲线方程可以直接用2x-z=0

    注:用总结的内容求(坐标面内曲线绕坐标轴旋转)

    注:用旋转面原始的定义,z=z₀,sqrt(x₀²+y₀²) = sqrt(x²+y²)


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