通知 网站从因情语写改为晴雨,这个网站的模板也从calmlog_ex改为 whimurmur

二轮考点全解 三章 微分中值定理与导数的应用

763人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

链接:https://www.qingyu.blue/article/234

声明:请尊重原作者的劳动,如需转载请注明出处


     微分中值定理

    重要概念

    微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理

    公式定义性质

    典型例题

    注:重点在构造辅助函数,F'(x) = g'(x)f(x) + f'(x)g(x)

    注:(1)对f'(x) + g(x)f(x),辅助函数形式为f(x)e^G(x)且G'(x) = g(x),(2)方程同除η化成(1)的形式再找辅助函数

    注:(1)结论没有导数可用零点定理,构造辅助函数F(x) = f(x) - x;(2)将f'(x)-1看成f'(x)用上面总结的结论

    注:含一堆常数(含f的常数),令常数为k(常数k值法),整理使两边有轮换对称性,如本题(bf(b) - af(a))/(b-a) = k => bf(b) - kb = af(a) - ka,所以辅助函数就是F(x) = xf(x) - (bf(b) - af(a))/(b-a)*x

    注:微分中值定理求极限,f(x) = arctanx

    注:微分中值定理求极限,f(x) = e^x

    注:找辅助函数,F(x) = xf(x),用拉格朗日中值定理

    注:设零点为c,用a~c,c~b两次利用拉格朗日中值定理,取绝对值

    注:三个点用两次拉格朗日中值定理,两次拉格朗日定理产生的两个点再用一次格格朗日中值定理,分析产生的两个点的一阶导的正负性即可

    注:利用拉格朗日中值定理求出ξ(t),求利用等价无穷小求极限

    注:分离η、ξ,f'(ξ) = (f(b) - f(a))/(b-a),e^(-η)/f'(η) = (eᵇ-eᵃ)/(f(b)-f(a)),两式消去f(b)-f(a)

    注:右端上面减ln(1+0),下面减arcsin0,使用柯西定理,可得左边形式,只要证左边在(0,1)是增函数,显然是增函数

    注:对tanx, 利用已知的sinx, cosx求tanx,因为sinx = cosx*tanx,设出tanx的麦克劳林公式,注意tanx的偶数阶导数为0(因为tanx为奇,偶数阶导数也为奇,奇函数0点为0,比较等式系数得出结果;对y=arctanx,利用y' = 1/(1+x²),得用泰勒公式展开成多项式,再积分可得arctanx的展开式

    注:展开sinx,看x的6次方的系数,系数中含6阶导的值,即y按公式展开的形式和利用展开sinx的形式应该是一样的,从而确定系数

    注:泰勒展开到2阶,带3阶拉格朗日余项,x₀=0,代入x=-1和x=1,消去二阶导(一阶导为零),只剩三阶导,分析三阶导的情况可得答案

    注:用泰勒公式展开到1阶,带2阶拉格朗日型余项,x=0,x=1带入,两式相减,得f'(x)的等式,利用绝对值性质和抛物线性质

    导数的应用

    重要概念

    导数 单调性 极值 极值的第一充分条件 极值的第二充分条件 最值 凹凸性 拐点 拐点的第一充分条件 拐点的第二充分条件 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线 曲率 曲率半径

    公式定义性质

    注:最多两条

    注:可以有无数条

    注:斜渐近线最多两条

    注:要求一,二阶导

    典型例题

    注:设辅助函数f(x)/x,求导使用拉格朗日中值定理

    注:隐函数求导,一阶导为0,求出x, y,再求二阶导,看符号

    注:f'(t) = 0求出t(a),t'(a) = 0求最小值

    注:参数方程求导,二阶导数小于0

    注:先找到二阶导为0与不可导点,再用判断拐点的方法进行判断,可以用表格法列出区间,二阶导符号

    注:使用拐点定义,二阶导为0且两侧变号

    注:做辅助函数,求一阶导,再求二阶导,研究符号,判断单调性

    注:技巧,先取对数,再做辅助函数,求导,研究符号,判断单调性

    注:做辅助函数,求出二阶导,利用凹凸性,两端点为0,中间凸,大于0

    注:做辅助函数,F'(x) = 0,找最大最小值即可

    注:常数不等式,变成函数不等式,把b改成x,做辅助函数,求一阶导,分析

     注:辅助函数,零点定理

    注:构造辅助函数F(x) = a₀x + a₁/2*x²+...+aₙ/(n+1)*xⁿ⁺¹,使用罗尔定理F'(x) = 0

     注:使用拉格朗日值定理得f(a+|f(a)|/k)>0,再用单调性、零点定理

    注:求二阶导,分类讨论,k≤0, k > 0,还可以分离常数,分离出来k,讨论另一端x的函数与y=k直线的交点

    C 注:找水平,铅直,斜渐近线

    注:用定义求

    注:求一二阶导,带入公式


亲爱的读者:有时间可以点赞评论一下

点赞(0) 打赏

全部评论

还没有评论!