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二轮考点全解 一章 函数和极限连续性

2626人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    极限的定义与性质

    重要概念

    极限 邻域 δ邻域 去心δ邻域 邻域半径 单侧极限 左极限 右极限 极限的惟一性,有界性,局部保号性 根限存在准则(夹逼准则,单调有界准则) 无穷小 高阶,同阶,等价无穷小

    公式定理性质

    

注:下面是极限存在和/或不存在时和差积商的性质

    典型例题

    D 注:左右极限不相等

    A 注:显然x趋向1,2时为无穷

    C 注:1点左侧逼近时f'(x)<0,1点右侧逼近时f'(x)>0,因为分式结果为正,分子分母同号

    C 注:g(x)可以用f(x)和v(x)表示,一个存在一个不存在,结果一定不存在

    1/2 注:缩放非关键项,保留关键项,都变成第一项,都变成最后一项

    3 注:可用归纳法证单减,大于0有界,故有极限,n->∞时,xₙ₊₁ = xₙ,解方程可求出xₙ即极限值

     0 注:前半部分分式利用性质x->+∞时,对数增长远小于冥增长远小于指数增长,知前半部分结果为0 ,后半部分有界,无穷小乘有界结果有0

    求函数的极限

    重要概念

    等价代换 洛必达法则 泰勒公式 等价无穷小 有理化 去根号 三角公式 0/0型 ∞/∞型 0•∞型 ∞-∞型 ∞⁰型 0⁰型 1^∞型

    方法

    注:注意各种变形,如x->1 sin(x-1)~x-1, x->∞ sin(1/x)~1/x

    典型例题

    2/3 注:三角公式,洛必达法则,等价无穷小(多种知识的综合运用)

    1/12 注:等价无穷小,洛必达法则

    1/4 注:分子有理化去根号,三角公式,等价无穷小

    注:利用泰勒公式或洛必达法则,还可以加以推广

    1 注:分子分母同除以最大量

    1 注:分子分母同除以最大量

    0 注:化成∞/∞型,洛必达法则

    1 注:化成0/0型,洛必达法则,通分,分子分母同除以最大量

    3/2 注:通分,洛必达

    注:倒代换,通分,等价无穷小

    1 注:对∞⁰型 0⁰型

    再把v(x)lnu(x)这个0•∞型化成∞/∞计算

    1/3 注:对1^∞,常用方法

    化成了0•∞型

    1/3 注:化成0/0型,再用三角公式,等价无穷小

    泰勒公式

    重要概念

    泰勒公式 展开式 余项 麦克劳林公式

    公式定理性质

    形式

    常用泰勒公式

 

    典型例题

    -1/4 注:利用泰勒展开式

    36 注:sin6x泰勒展开,上下可以消掉一个x,出现所求的样子

    a=-1/12,b=4 注:g(x)泰勒展开,化为多项式相加

    -3 注:都是加减关系,泰勒展开后计算较简单

    f(0) = -3, f'(0) = 0, f''(0) = 1, 极限=1/2 注:用泰勒展开sin3x,f(x)到三阶,对比系数,求出f(0),f'(0),f''(0),只展开sin3x到3阶,会出现所求极限,求出即可

    求数列的极限

    重要概念

    数列 前n项和

    公式定理性质

 

    典型例题

    1 注:裂项求和

    1 注:夹逼定理

    max(a₁,a₂...aₘ) 注:关键项是max(a₁,a₂...aₘ),夹逼定理(缩放)

    4sqrt(a) 注:推广的算术平均大于几何平均,有下限,作差xₙ₊₁-xₙ<0(或作商xₙ₊₁/xₙ<1)单减,故有极限,n->∞时,x₁₊ₙ=xₙ,解一元方程可得极限

    函数的连续与间断

    重要概念

    连续 极限 间断点 第一类间断点 第二类间断点

    公式定义性质

    闭区间上连续函数的性质

   

    重要概念

    闭区间 开区间 有界性 最大值最小值定理 介值定理 零点定理

    公式定义性质

    典型例题

    0:无穷,1:跳跃 注:在分母为0时取得间断点

    注:构造新函数,F(x) = f(x)-右侧,F(x₁) < 0, F(xₙ) > 0,零点定理可证

    a=-1连续,a=-2可去,a≠-1且a≠-2时可去 注:连续的定义,讨论两个极限

    习题总结

    注:0/0型,洛必达法则或换元等价无穷小

    注:等价无穷小,x-ln(1+tanx)凑成x-tanx+tanx-ln(1+tanx),拆分成两个存在的极限

    0 注:拆分成两个存在的极限,前一个极限用拉格朗日中值定理或用等价无穷小

    4/3 注:拆成两个存在的,等价无穷小,洛必达法则

    注:1^∞型,倒代换

    注:拆分,比较

    a=1,b=1 注:倒代换产生分式,拆分分式成两个极限

    注:商式等于1,有理化,拆分或者+1-1拆分

   (3+sqrt(21))/2 注:求前两项,推测单调性,构造函数求导若导数>0则单调,x₁>x₂,单减,x₁<x₂,单增,若导数<0不单调;本题单增有上界,有极限,解一元方程得出极限,也可以用数学归纳法

    3 注:分母为0的点,此时左右极限要存在且不相等


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