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六章 样本及抽样分布

1295人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 概率论与数理统计  | 标签: 概率论与数理统计

作者:因情语写

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    随机样本

    总体X:一个统计问题中所研究对象(某数量指标)的全体,总体就是一个分布;

    样本Xᵢ:指组成总体的每一个对象或成员(随机变量)

    样本值xᵢ:样本的观察值(具体的数)x₁, x₂,...,xₙ

    简单随机样本:从总体中随机地抽取的n个样本X₁,X₂,...,Xₙ,它们相互独立且与总体X同分布

    样本二重性:

    一方面,由于样本是从总体中随机抽取的,抽取前无法预知它们的数值,因此样本是随机变量,用大写字母X₁, X₂,...Xₙ表示

    另一方面,样本在抽取以后经观测就有确定的观测值,因此样本值是一组具体的数字(不是随机变量),用x₁, x₂,...xₙ表示,请注意区别!

    若连续型总体X有fₓ(x),则对样本X₁, X₂,...Xₙ有联合分布密度

    f(x₁,...,xₙ) = ∏[i=1,n]fₓ(xᵢ)

    若离散型总体X有 P(X=xᵢ) = pᵢ,i=1,2...,则样本X₁, X₂,...Xₙ有联合分布律

    P(X₁ = x₁,...,X₁ = x₁) = ∏[i=1,n]P(Xᵢ = xᵢ)

    一般地,总体X有Fₓ(x),则联合分布函数:

    F(x₁,...xₙ) = ∏[i=1,n]F(xᵢ)

    抽样分布

    常用统计量

    (1)抽样均值     ̄X  = 1/n*∑[i=1,n]Xᵢ

    (2)抽样方差    S² = 1/(n-1)*∑[i=1,n](Xᵢ-  ̄X)²

    注:S² = 1/(n-1)*(∑[i=1,n]Xᵢ² - n ̄X²)

    样本均值( ̄X),样本方差(S²)性质

    设总体X,E(X) = μ,D(X) = σ²

    样本Xᵢ与X同分布且Xᵢ相互独立(i=1,2,...,n)

    简记为 Xᵢ~(μ, σ²)

    E(Xᵢ) = μ, D(Xᵢ) = σ²

    性质

    E( ̄X) = E(X)

    D( ̄X) = 1/n*D(X)

    E(S²) = D(X)

    三大抽样分布

    1)χ分布

    定义:设总体X~N(0, 1),Xᵢ~N(0, 1)

    χ² = X₁² + X₂² + ... + Xₙ² ~χ²(n)

    实质:n个标准正态分布平方和

    性质:χ²~χ²(n),则E(χ²) = n,D(χ²) = 2n

    若X~χ²(n₁),Y~χ²(n₂),X与Y相互独立,则X+Y~χ²(n₁+n₂)

    2)t分布

    定义:X~N(0, 1),Y~χ²(n),X与Y独立

    则 T = X/sqrt(Y/n)~t(n)

    注:分子上标准正态分布,分母是卡方分布除以自由度开根号

    性质

    t(n)密度函数图像如图,有对称性

        E(T) = 0

    3)F分布

    定义:设X~χ²(n₁),Y~χ²(n₂)且X与Y独立

    则 F = (X/n₁)/(Y/n₂)~F(n₁, n₂)

    注:分子分母均为卡方分布除以自由度

    性质:F~F(n₁, n₂),则1/F~F(n₂, n₁)

    抽样分布定理

    单个正态总体 X~N(μ, σ²)

    样本Xᵢ~N(μ, σ²),E(Xᵢ) = μ,   D(Xᵢ) = σ²

    E( ̄X) = E(X) = μ

    D( ̄X) = 1/n*D(X) = σ²/n

    (1) ̄X = 1/n*∑[i=1,n]Xᵢ ~ N(μ, σ²/n),则

    ( ̄X-μ)/sqrt(σ²/n)~N(0,1)

    (2)(n-1)S²/σ² = 1/σ²*∑[i=1,n](Xᵢ- ̄X)²~χ²(n-1)

    (3)1/σ²*∑[i=1,n](Xᵢ - μ)²~χ²(n)

    (4)( ̄X-μ)sqrt(n)/S ~ t(n-1)


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