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五章 大数定律及中心极限定理

2393人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 概率论与数理统计  | 标签: 概率论与数理统计

作者:因情语写

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    大数定律

    概括:算术平均依概率收敛于统计平均

    1/n*∑[i=1,n]Xᵢ  ->  E(1/n*∑[i=1,n]Xᵢ) = 1/n*∑[i=1,n]EXᵢ

    (一)切比雪夫大数定律(切大数)

    设随机变量X₁, X₂,...,Xₙ,...相互独立(两两不相关即可),如果方差DXₖ存在且一致有上界,即存在常数C,使得DXₖ ≤ C,则

    lim[n->∞]P{|1/n*∑[k=1,n]Xₖ - 1/n*∑[k=1,n]EXₖ| < ε} = 1

    (二)辛钦大数定律(辛大数)

    设随机变量X₁, X₂,...Xₙ,...相互独立服从同一分布,具有数学期望EXₖ = μ,则

    lim[n->∞]P{|1/n*∑[k=1,n]Xₖ - μ| < ε} = 1

    (三)伯努利大数定律(伯大数)

    nₐ是n次独立重复试验中A发生的次数,p是事件A在每次实验中发生的概率,则

    lim[n->∞]P{|nₐ/n - p| < ε} = 1

    中心极限定理

    概括为:n个相互独立同分布随机变量之和近似服从正态分布

    lim[n->+∞]∑[i=1,n]Xᵢ ~ N(E(∑[i=1,n]Xᵢ), D(∑[i=1,n]Xᵢ))

    (一)棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理

    设随机变量Xₙ服从参数为n和p的二项分布,即Xₙ~B(n, p) (0<p<1, n = 1, 2,...),则当n -> ∞时,有

    lim[n->∞]P{(Xₙ-np)/sqrt(np(1-p)) ≤ x} = Φ(x)    即

    Xₙ~N(np, np(1-p))

    (二)列维-林德伯格中心极限定理

    设随机变量X₁,X₂,...Xₙ....相互独立,服从相同的分布,具有数数学期望E(Xₙ) = μ和方差D(Xₙ) = σ²(n = 1, 2,...),则当n->∞时,有

    lim[n->∞]P{(∑[k=1,n]Xₖ - nμ)/sqrt(n)σ ≤ x} = Φ(x)

    即 ∑[k=1,n]Xₖ~N(nμ, nσ²)


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