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三章 多维随机变量及其分布

2653人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 概率论与数理统计  | 标签: 概率论与数理统计

作者:因情语写

链接:https://www.qingyu.blue/article/219

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    二维随机变量

    1、多维随机变量

    设X=X(ω), Y=Y(ω)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量,则称向量(X, Y)为二维随机变量随机向量

    性质:

    (1)0≤F(x,y)≤1

    (2)F(x,y)分别关于x和y单调不减,即

    对于固定的y,若x₁<x₂,则F(x₁, y) ≤ (x₂, y) 

    对于固定的x,若y₁<y₂,则F(x, y₁) ≤ (x, y₂) 

    (3)F(x,y)分别关于x和y右连续,即

    F(x+0,y) = F(x,y),    F(x, y+0) = F(x,y)

    (4)F(-∞,y) = lim[x->-∞]F(x,y) = 0, F(x, -∞) = lim[y->-∞]F(x,y) = 0

    F(-∞,-∞) = lim[x->-∞,y->-∞]F(x,y) = 0,    F(+∞,+∞) = lim[x->+∞,y->+∞]F(x,y) = 1

    (5)对于任意实数x₁<x₂, y₁<y₂,有

    F(x₂, y₂) - F(x₂, y₁) - F(x₁, y₂) + F(x₁, y₁) ≥ 0

    二维离散型随机变量

    定义

    若二维随机变量(X, Y)的每一个分量X和Y都是离散型的,则称(X, Y)为二维离散型随机变量。

    联合概率分布

    设(X, Y)的一切可能取值为(xᵢ, yⱼ),i = 1, 2,...;j=1, 2,...;则称pᵢⱼ = P(X = xᵢ, Y = yⱼ),i, j = 1, 2,...为(X, Y)的联合分布律,或联合概率分布。

    二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律常用下列形式表示:

X/Y y₁ y₂ ... yᵢ ...
x₁ p₁₁ p₁₂ ... p₁ᵢ ...
x₂ p₂₁ p₂₂ ... p₂ᵢ ...
... ... ... ... ... ...
xᵢ pᵢ₁ pᵢ₂ ... pᵢᵢ ...
... ... ... ... ... ...

    联合分布律的性质如下:1)pᵢⱼ ≥ 0; 2)∑[i=1,n]∑[j=1,n]pᵢⱼ = 1

    二维连续型随机变量

    定义

    设(X, Y)的联合分布函数为F(x, y),如果存在非负可积函数f(x, y),使得对任意实数x, y,有F(x, y) = ∫[-∞,x]∫[-∞,y]f(u, v)dudv,则称(X, Y)为二维连续型随机变量,f(x, y)为其联合概率密度函数

    f(x, y)的性质主要有:

    (1)f(x, y) = 0;

    (2)∫[-∞,+∞]∫[-∞,+∞]f(x, y)dxdy

    满足上述(1)(2)两条性质的二元函数f(x, y)必可作为某二维随机变量的联合概率密度

    (3)若f(x, y)在点(x, y)连续,则有f(x, y) = ∂²F(x, y)/∂x∂y

    (4)设G是平面xoy上的区域,点(X, Y)落在G内的概率为

                P{(X, Y)∈G} = ∫∫[G]f(x, y)dxdy

    边缘分布

    二维随机变量边缘分布函数

    设F(x, y)为(X, Y)的联合分布函数,关于X和Y的边缘分布函数分别为Fₓ(x)和Fᵧ(y),则有

    Fₓ(x) = F(x, +∞) = P{X ≤ x, Y < +∞} = lim[y->+∞]F(x, y)

    Fᵧ(y) = F(+∞, y) = P{x < +∞, Y ≤ y} = lim[x->+∞]F(x, y)

    (1)二维离散型边缘分布

    (X, Y)的分量X和Y的分布律称为其边缘分布律

    它与联合分布律的关系为:

    pᵢ = P(X = xᵢ) = ∑[j=1,n]P(X=xᵢ, Y = yⱼ) = ∑[j=1, n]pᵢⱼ

    pⱼ = P(Y = yⱼ) = ∑[i=1,n]P(X=xᵢ, Y = yⱼ) = ∑[i=1, n]pᵢⱼ

    (2)二维连续型,边缘密度公式

    Fₓ(x) = lim[y->+∞]F(x,y) = lim[y->+∞]∫[-∞,x]∫[-∞,y]f(u,v)dudv = ∫[-∞,x]∫[-∞,+∞]f(u,v)dudv

    fₓ(x) = F'ₓ(x) = ∫[-∞,+∞]f(x, y)dy

    同理:fᵧ(y) = F'ᵧ(y) = ∫[-∞,+∞]f(x, y)dx

    条件分布

    (1)二维离散型随机变量条件分布

    对于固定j,若pⱼ = P(Y = yⱼ) > 0,则称

    pᵢ|ⱼ = P(X = xᵢ | Y = yⱼ) = P(X = xᵢ, Y = yⱼ) / P(Y = yⱼ) = pᵢⱼ/pⱼ

    i = 1, 2...为X关于(Y = yⱼ)的条件分布

    类似地,若pᵢ = P(X = xᵢ) > 0,则称

    pⱼ|ᵢ = P(Y = yⱼ | X = xᵢ) = P(X = xᵢ, Y = yⱼ) / P(X = xᵢ) = pᵢⱼ/pᵢ

    i = 1, 2...为Y关于(X = xᵢ)的条件分布

    (2)二维连续型随机变量条件分布

    若对于给定的x,有fₓ(x)>0,则称

    fᵧ|ₓ(y|x) = f(x, y)/fₓ(x),-∞ < y < +∞为Y关于X=x的条件密度函数,类似地,若fᵧ(y) > 0,则称

    fₓ|ᵧ(x|y) = f(x, y)/fᵧ(y),-∞ < x < +∞为X关于Y=y的条件密度函数

    注:条件密度函数同样满足密度函数的所有性质

    相互独立的随机变量

    (1)二维离散型情形

    对于二维离散型随机变量(X, Y),X与Y相互独立的充要条件为

    pᵢⱼ = pᵢ x pⱼ,对任何i,j = 1, 2,...

    (2)连续型情形

    对于二维连续型随机变量(X, Y),X与Y相互独立的充要条件为

    f(x, y) = fₓ(x)fᵧ(y)

    两个随机变量函数的分布

    已知(X, Y)分布,求z = g(x, y)的分布

    类型:1:离散型,2:连续型,3:混合型:x离,y连

    1:离散型:z = g(x, y)离散

    关键:z取值+对应概率

    表格法

    2:二维连续型随机变量函数的分布

    设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y),

    z = g(x, y)为二元连续函数,则Z = g(X, Y)是一维连续型随机变量

    方法1:分布函数法

    方法2:公式法(x+=x÷y)

    (一)E = X + Y公式法要点

    (x, y) ~ f(x, y) = [ ≠ 0, (x, y)∈D;  = 0,其它]

    fₑ(e) = ∫[-∞, +∞]f(x, e - x)dx =>(独立)∫[-∞, +∞]fₓ(x)fᵧ(e-x)dx

    fₑ(e) = ∫[-∞, +∞]f(e - y, y)dy =>(独立)∫[-∞, +∞]fₓ(e-y)fᵧ(y)dy

    注:若X~N(μ₁, σ₁²),Y~N(μ₂, σ₂²)

    X与Y独立,则X+Y~N(μ₁+μ₂, σ₁²+σ₂²)    减也可以,正态公式可加性


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