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二章 随机变量,离散型随机变量及其分布律

991人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 概率论与数理统计  | 标签: 概率论与数理统计

作者:因情语写

链接:https://www.qingyu.blue/article/218

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    随机变量

    在样本空间Ω上,随机试验的每一个可能的结果ω∈Ω都用一个实数X = X(ω)来表示,且实数X满足:

    (I)X是由ω唯一确定的

    (II)对于任意给定的实数x,事件{X≤x}都是有概率的

    则称X(ω)为一随机变量,简记为X,一般用英文大写字母X,Y,Z等表示随机变量

    离散型随机变量及其分布律

    1)离散型随机变量的定义

    若随机变量X的所有可能取值只有有限个或可列无穷个,则称X为离散型随机变量

    2)分布律

    设X的所有可能取值x₁, x₂, ..., xₙ,...,则称P(X=xᵢ) = pᵢ,i = 1, 2, ...o X的分布律,或用下列形式表示X的分布律:

X x₁ x₂ ... xₙ ...
P P₁ P₂ ... Pₙ ...

    显然,分布律满足(1),pᵢ ≥ 0,i = 1, 2, ....;(2)∑[i]pᵢ = 1

    常见分布

    伯努力实验(n重独立重复实验)

    (1)实验结果只有两个     发生(A)与不发生(¬A)

    (2)P(A) = p       P(¬A) = 1 - p

    (3)n次试验之间相互独立

    0-1分布

    背景:描述一次伯努利试验中A发生的次数

    分布律

X 0 1
P 1-p p

    二项分布B(n, p)

    背景:n重伯努利试验中A发生的次数X(独立重复试验序列)

    分布律

    P{X=k} = C[n,k]pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ,k = 0, 1, 2...n,k为n次实验中A总共发生k次

    几何分布

    背景:伯努利试验首次成功时的试验次数X

    分布律

    P{X=k} = (1-p)ᵏ⁻¹p,k = 1, 2, 3....,k为首次成功发生在第k次

    泊松分布

    背景:单位时间内某事件发生的次数X

    分布律

    P{X=k} = λᵏe^(-λ)/k!,k = 0, 1, 2, 3,λ>0

    注:eˣ = ∑[k=0,+∞]xᵏ/k!       ∑[k=0,+∞]λᵏe^(-λ)/k! = e^(-λ)∑[k=0,+∞]xᵏ/k! = e^(-λ)•e^λ = 1(泊松分布的概率和为1)

    超几何分布

    背景:N个产品中有M个不合格品,从中抽取n个,其中不合格品的个数X

    分布律

    P{X=k} = C[M, k]C[N-M, n-k]/C[N,n],k = 0, 1, 2.... min(n,M)

    随机变量的分布函数

    分布函数的定义

    设X为随机变量,x为任意实数,F(x) = P{X=k}  x∈(-∞, +∞),称为X的分布函数

    分布函数

    (1)0 ≤ F(x) ≤ 1

    (2)单调不减    ∀x₁ < x₂ =>F(x₁) ≤ F(x₂)

    (3)右连续性    ∀x    F(x+0) = F(x)

    (4)F(-∞) = 0, F(+∞) = 1

     连续型随机变量及其概率密度

    定义

    若随机变量X的分布函数F(x)存在非负函数f(x),对∀x有

    F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt

    称f(x)为X的概率密度函数

    f(x)性质

    (1)f(x) ≥ 0

    (2)∫[-∞,+∞]f(x)dx = 1

    F(x),f(x)关系,性质               F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt

    (1)对连续型随机变量,F(x)是连续函数

    (2)F'(x) = f(x)

    (3)P{X = K} = 0

    (4)P{a ≤ x < b} = ∫[a,b]f(x)dx

    难点:

    f(x) = 0(在定义域外),f(x) ≠ 0(在定义域D内)

    P{X∈G} = ∫[G]f(x)dx

    其中积分区域:G∩D(取交集)

    连续型随机变量的常见分布

    均匀分布X~u(a, b)

    背景,在(a, b)区间上随机均匀投点

    密度:f(x) = [1/(b-a),a<x<b;    0,其它]

    分布函数: F(x) = [0, x<a;    (x-a)/(b-a),a≤x<b;    1,b≤x]

    特性:[c, d]∈[a, b]

    P{c<X<d} = ∫[c, d]1/(b-a)dx = (d-c)/(b-a)    (长度之比)

    指数分布E(λ)

    背景:产品的寿命

    密度:f(x) = [(1/θ)e^(-x/θ), x>0;    0, 其它]   θ>0        也可以表示成f(x) = [λe^(-λx), x>0;    0,其它] λ>0

    分布函数:F(x) = [1 - e^(-λx), x>0;    0,其它]

    注:两个常用积分

    (1)X~E(λ), P(X>t) = e^(-λt)

    (2)伽玛积分(T)    ∫[0, +∞]xⁿe⁻ˣdx = n!

    正态分布

    背景:身高,体重

    密度:f(x) = 1/((2π)^(1/2)σ)*e^(-(x-μ)²/2σ²),    x∈(-∞,+∞)

    图像:

    (1)对称性:f(x)关于x = μ对称

    P{X>μ} = P{X≤μ} = 1/2

    标准正态分布N(0,1)

    密度:φ(x)  = 1/(2π)^(1/2)*e^(-x²/2),    x∈(-∞,+∞)

    分布函数:Φ(x),

    性质:X~N(0,1)

    (1)Φ(0) = P{X≤0}= 1/2

    (2)Φ(-x) = 1 - Φ(x)

    (3)P{|X|<c} = P{-c<X<c} = Φ(c) - Φ(-c) = 2Φ(c) - 1

    (2)标准化:若X~N(μ, σ²),则Z = (X-μ)/σ ~ N(0, 1)

    应用:1)F(x) = P{X≤x} = P{(X-μ)/σ ≤ (x-μ)/σ} = Φ((x-μ)/σ)

    2)P{x₁<X<x₂} = P{(x₁-μ)/σ<(X-μ)/σ<(x₂-μ)/σ} =  Φ((x₂-μ)/σ) -  Φ((x₁-μ)/σ)

    3)利用正态概率密度求积分

    ∫[-∞,+∞]1/(2π)^(1/2)*e^(-x²/2)dx = 1

     ∫[-∞,+∞]e^(-x²/2)dx = (2π)^(1/2)

    ∫[-∞,+∞]e^(-x²)dx = (2π)^(1/2) = (π)^(1/2)

    性质:

    Z₁₋ₐ = -Zₐ

    正态分位数

    设X~N(0,1),若Zₐ满足

    P{X>Zₐ} = a(0<a<1)

    称Zₐ为N(0,1)上的ₐ分位点

    性质Z₁₋ₐ = -Zₐ

    随机变量函数的分布

    问题:已知X的分布,求y = g(x)的分布

    类型:

    离散型:取值+概率

    连续型:分布函数法/公式法

    公式法:

    设随机变量X且有概率密度fᵪ(x),-∞<x<+∞,设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0),则Y=g(X)是连续型随机变量,其概率密度为

    fᵧ(y) = [fᵪ[h(y)]|h'(y)|, α<y<β,     0,其他],其中α=min{g(-∞),g(+∞)}, β=max{g(-∞),g(+∞)},h(y)是g(x)的反函数

    注:对X~N(μ, σ²),Y=aX+b ~ N(aμ+b, a²σ²)


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