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五章六节 相似矩阵及二次型 正定二次型

4032人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 线性代数  | 标签: 线性代数  | 

作者:因情语写

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    正定二次型的定义

    定义 10 设二次型 f(x) = xᵀAx,若对任意的x ≠ 0,都有xᵀAx > 0,则称 f 为正定二次型,对应的矩阵A称为正定矩阵.

    正定的必要条件

    若n 元二次型f = xᵀAx正定,则

    (1)aᵢᵢ > 0

    (2)|A| > 0

    正定的充要条件

    n 元二次型 f = xᵀAx 正定

    <=> 对任意的x > 0,有 xᵀAx > 0;

    <=>A 的特征值 λᵢ 全大于0

    <=>A的全部顺序主子式大于 0

    <=>f 的正惯性指数 p = n

    <=>A和E 合同,即存在可逆C ,使得CᵀAC = E

    <=>存在可逆D,使得A = DᵀD


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