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九章二节 二重积分 二重积分的计算

1033人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    利用直角坐标系计算二重积分

    设积分区域D可以用不等式

                           φ₁(x) <= y <= φ₂(x),   a<= x <= b

    来表示,其中φ₁(x)、φ₂(x)在区间[a, b]上连续

                           

    那么就有

                                   ∫∫[D]f(x, y)dσ = ∫[a, b]dx∫[φ₁(x), φ₂(x)]f(x, y)dy

    这就是把二重积分化为先对y后对x的二次积分的公式

    注:

    1、使用以上公式时,积分区域必须是X型区域

    2、X型区域D的特点是:穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界上下交于两点

                                     X型区域    先y后x

    类型地,如果积分区域D可以用不等式

                                     ψ₁(y) <= x <= ψ₂(y), c <= y <= d

    来表示,其中函数ψ₁(y)、ψ₂(y)在区间[c, d]上连续

                                      

    那么就有

                               ∫∫[D]f(x, y)dσ = ∫[c, d]dy∫[ ψ₁(y) , ψ₂(y) ]f(x, y)dx

    这就是把二重积分化为先对x,后对y的二次积分的公式

    注:

    1、使用以上公式时,积分区域必须是Y型区域

    2、Y型区域D的特点是:穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界左右交于两点

                                           Y型区域    先x后y

    注:

    将二重积分化为二次积分时,选择合理的积分次序是一个关键,选择积分次序时,要考虑积分区域的形状,又要考虑被积函数的特点

    利用极坐标计算二重积分

    极坐标下二重积分计算公式为:

                       ∫∫[D]f(x, y)dσ = ∫∫[D]f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ

    也是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式

    其中ρdρdθ就是极坐标系中的面积元素

    注:此公式表明,要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标,只要把被积函数中的x, y分别换成 ρcosθ, ρsinθ 并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标中的面积元素ρdρdθ

    设积分区域D可以用不等式

                                    φ₁(θ) <= y <= φ₂(x),   α <= θ <= β

    来表示,其中函数φ₁(θ)、 φ₂(x) 在区间[a, b]上连续

    ∫∫[D]f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ = ∫[α, β]dθ∫[φ₁(θ), φ₂(x)]f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρ

    注:图中极径用的是r而不是ρ,没有找到合适的图

    如果积分区域D是图所示的曲边扇形

    闭区域D可以用不等式0<=ρ<=φ(θ),α <= θ <= β则有

    ∫∫[D]f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ = ∫[α, β]dθ∫[0, φ(x)]f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρ


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