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八章六节 多元函数微分法及其应用 多元函数的极值及其求法

987人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    一元的情况

    极值

    定义 设函数f(x)在点x₀的某邻域U(x₀)内有定义,如果对于去心邻域U(x₀)中的任意x,有

                       f(x) < f(x₀) (或f(x) > f(x₀))

    那么就称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)

    多元函数的极值及最大值、最小值

    定义 设函数z = f(x, y)的定义域为D,P₀(x₀, y₀)为D的内点

    若存在P₀的某个邻域U(P₀)⊂D,使得对于该邻域内异于P₀的任何点(x, y)都有

                                 f(x, y) < f(x₀, y₀)

    则称函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)有极大值f(x₀, y₀),

    点(x₀, y₀)称为函数f(x, y)的极大值点

    若对于该邻域内异于P₀的任何点(x, y)都有

                                f(x, y) > f(x₀, y₀)

    则称函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)有极小值f(x₀, y₀)

    点(x₀, y₀)称为函数f(x, y)的极小值点

    极大值极小值统称为极值,使得函数取得极值的点称为极值点

    一元的情况

    定理2 (必要条件)设函数f(x)在x₀处可导,且在x₀处取得极值,那么f'(x₀) = 0

    多元的情况

    定理1 (必要条件)设函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)具有偏导数,且在点(x₀, y₀)处有极值,则有

                          fₓ(x₀, y₀) = 0,         fᵧ(x₀, y₀) = 0

    一元的情况

    定理4 (第二充分条件)设函数f(x)在x₀处具有二阶导数且f'(x₀) = 0,f"(x₀) ≠ 0,那么

    (1)当f"(x₀)<0时,函数f(x)在x₀处取得极大值

    (2)当f"(x₀)>0时,函数f(x)在x₀处取得极小值

    注:当f'(x₀) = 0, f"(x₀) = 0时,函数f(x)在x₀处不一定取得极值

    多元的情况

    定理2 (充分条件)设函数z = f(x, y)在点(x₀, y₀)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又

                    fₓ(x₀, y₀) = 0,         fᵧ(x₀, y₀) = 0

    令

                  fₓₓ(x₀, y₀) = A,         fₓᵧ(x₀, y₀) = B,               fᵧᵧ(x₀, y₀) = C

    则f(x, y)在(x₀, y₀) 处是否取得极值的条件如下:

    (1)AC - B² > 0时具有极值

    (2)AC - B² < 0时没有极值

    (3) AC - B² = 0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论

    具有二阶连续偏导数的函数z = f(x, y)的极值的求法:

    第一步 解方程组

                      fₓ(x, y) = 0,         fᵧ(x, y) = 0

    求得一切实数解,即可求得一切驻点

    第二步 对于每一个驻点(x₀, y₀),求出二阶偏导数的值A,B和C

    第三步 定出AC - B²的符号,按定理2的结论判定f(x₀, y₀) 是不是极值,是极大值还是极小值

    求函数的最大值和最小值的一般方法是:

    将函数f(x, y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值

    条件极值拉格朗日乘数法

    要找函数z = f(x, y)在附加条件φ(x, y) = 0下的可能极值点

    拉格朗日乘数法

    可以先作拉格朗日函数

                      L(x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)

    其中λ为参数,求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程φ(x, y)=0联立起来

    由这方程组解出x, y及λ,这样得到的(x, y)就是函数f(x, y)在附加条件φ(x, y)=0下可能极值点

    这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形

    例如,要求函数

                              u = f(x, y, z, t)

    在附加条件φ(x, y, z, t) = 0, ψ(x, y, z, t) = 0下的极值

    可以先作拉格朗日函数

                              L(x, y, z, t) = f(x, y, z, t) + λφ(x, y, z, t) + μψ(x, y, z, t)

    其中λ,μ均为参数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与方程

                       φ(x, y, z, t) = 0, ψ(x, y, z, t) = 0

    联立起来求解,这样得出的(x, y, z, t)就是函数f(x, y, z, t)在附加条件φ(x, y, z, t) = 0, ψ(x, y, z, t) = 0下的可能极值点


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