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八章三节 多元函数微分法及其应用 全微分

2079人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    微分的定义

    设函数 y = f(x) 在某区间内有定义,x₀及x₀+△x在这区间内,如果增量

                                     △y = f(x₀ + △x) - f(x₀)

    可表示为

                                             △y = A△x + o(△x)

    其中A是不依赖于△x的常数,那么称函数:y=f(x)在点x₀是可微的,而A△x叫做函数y = f(x)在点x₀相应于自变量增量△x的微分,记作

                                    dy = A△x

    一元函数的微分

    当f(x)在点x₀可微时,其微分是

                                     dy = f'(x₀)△x

    y = f(x)的微分又可记作

                                     dy = f'(x)dx

    从而有

                                    dy/dx = f'(x)

    全微分的定义

    全微分的定义 设函数z = f(x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x, y)的全增量

                                       △z = f(x + △x, y + △y) - f(x, y)

    可表示为

                                      △z = A△x + B△y + o(ρ)

    其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x, y有关,ρ = ((△x)^2 + (△y)^2)^(1/2)

    则称函数z = f(x, y)在点(x, y)可微分

    而A△x+B△y称为函数 z = f(x, y)在点(x, y)的全微分,记作dz

    即

                                          dz = A△x + B△y

    可微分与连续的关系

    由可微△z = A△x + B△y + o(ρ)得lim[ρ->0]△z = 0,从而有

                             lim[(△x,△y)->(0,0)]f(x+△x,y+△y) = lim[ρ->0][f(x,y) + △z] = f(x, y)

    因此函数z = f(x, y)在点(x, y)处连续

    定理1 (必要条件)如果函数z = f(x, y)在点(x, y)可微分,则该函数在点(x, y)的偏导数δz/δx,δz/δy必定存在,且函数z = f(x, y)在点(x, y)的全微分为

                            dz = (δz/δx)dx + (δz/δy)dy

    注:可微分判定

    1、两个偏导数存在

    2、 lim[(△x,△y)->(0,0)][f(x₀+△x,y₀+△y) - A△x - B△y]/((△x)^2 + (△y)^2)^(1/2) = 0

    定理2 (充分条件)如果函数z = f(x, y)的偏导数δz/δx、δz/δy在点(x, y)连续,则函数在该点可微分

    总结:

    对一元函数

    对二元函数

    推广 如果三元函数u = f(x, y, z)要微分,那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和

    即

                                    du = (δu/δx)dx + (δu/δy)dy + (δu/δz)dz


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