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七章六节 微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程

3861人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学

作者:因情语写

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    二阶齐次线性微分方程定义

    在二阶齐次线性微分方程

                               y'' + P(x)y' + Q(x) = 0           (1)

    中,如果y',y的系数P(x),Q(x)均为常数即(1)式成为:

                              y'' + py' + qy = 0

    其中p,q是常数,则称(2)为二阶常系数齐次线性微分方程

    如果不全为常数,称(1)为二阶变系数齐次线性微分方程

    二阶齐次线性微分方程解法

    求二阶常系数齐次线性微分方程

                                   y'' + py' + qy = 0           (2)

    的通解的步骤如下:

    第一步 写出微分方程(2)的特征方程

                                   r² + pr + q = 0                (3)

    第二步 求出特征方程(3)的两个根r₁,r₂

    第三步 根据特征方程(3)的两个根的不同情形,按照下列表格写出微分方程(2)的通解

特征方程r² + pr + q = 0的两个根r₁,r₂ 微分方程y'' + py' + qy = 0的通解
两个不相等的实根r₁,r₂ y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)
两个相等的实根r₁ = r₂ = r y = (C₁ + C₂x)e^(rx)
一对共轭复根r = α ± iβ y = e^(αx)(C₁cosβx + C₂sinβx)

 


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