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五章一节 定积分 定积分的概念和性质

1038人浏览 / 0人评论 / | 作者:因情语写  | 分类: 高等数学  | 标签: 高等数学  | 

作者:因情语写

链接:https://www.qingyu.blue/article/138

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    定积分的定义

    设函数f(x)在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入若干个分点

                                 a=x₀ < x₁ < x₂ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b

    把区间[a, b]分成n个小区间

                                 [x₀, x₁], [x₁, x₂], ... , [xₙ₋₁, xₙ],

    各个小区间的长度依次为

                                 △x₁ = x₁ - x₀, △x₂ = x₂ - x₁, ... , △xₙ = xₙ - xₙ₋₁

    函数值f(ξᵢ)△xᵢ (i = 1, 2, ... , n)

    并作出和, S = Σ[i=1,n]f(ξᵢ)△xᵢ

    记 λ = max{△x₁, △x₂, ..., △xₙ},只要当λ -> 0时,

    不论对[a, b]怎样划分,也不论在小区间上点[xᵢ₋₁, xᵢ]上点ξᵢ怎样选取

    和S总趋于确定的极限I,那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

                                   ∫[a, b]f(x)dx

                               即 ∫[a, b]f(x)dx = I = lim[λ->0]Σ[i=1,n]f(ξᵢ)△xᵢ

    注:

                                    ∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, b]f(t)dt = ∫[a, b]f(u)du

    定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关。

    可积的概念

    定义 如果f(x)在[a, b]上的定积分存在,那么就说f(x)在[a, b]上可积

                                    ∫[a, b]f(x)dx = I = lim[λ->0]Σ[i=1,n]f(ξᵢ)△xᵢ

   

    注:

    可积不一定连续,连续不一定可导

    可导必定连续,连续必定可积

    定理1 设f(x)在区间[a, b]上连续,则f(x)在[a, b]上可积

    定理2 设f(x)在区间[a, b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a, b]上可积

    定积分的几何意义

    在[a, b]上f(x) >= 0时,我们已经知道,定积分∫[a, b]f(x)dx在几何上表示由曲线:y = f(x),两条直线:x = a, x = b轴所围成的曲边梯形的面积

    在[a, b]上f(x) <= 0时,由曲线:y = f(x),两线直线x = a, x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定积分∫[a, b]f(x)dx在几何 表示上述曲边梯形面积的负值

    在[a, b]上f(x)既取得正值又取得负值时,函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方,而其他部分在x轴下方,此时定积分∫[a, b]f(x)dx表示x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差

    定积分的性质

    对定积分作以下两点补充规定:

    (1)∫[a, a]f(x)dx = 0

    (2)∫[a, b]f(x)dx = ∫[b, a]f(x)dx

    性质1 ∫[a, b]kf(x) ± lg(x)dx = k∫[a, b]f(x)dx ± l∫[a, b]g(x)dx(其中k, l是常数)

    性质2 ∫[a, b]f(x)dx = ∫[a, c]f(x)dx + ∫[c, b]f(x)dx

    性质3 如果在区间[a, b]上f(x)=1,则∫[a, b]1dx = ∫[a, b]dx = b - a

    性质4 如果在区间[a, b]上,f(x) <= g(x),则∫[a, b]f(x)dx <= ∫[a, b]g(x)dx (a < b)

    性质5 |∫[a, b]f(x)dx| <= ∫[a, b]|f(x)|dx (a < b)

    性质6 设M与m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,则

                     m(b - a) <= ∫[a, b]f(x)dx <= M(b-a)

    性质7定积分中值定理)如果函数f(x)在积分区间[a, b]上连续,则在[a, b]上至少存在一个点ξ,使下式成立:

                  ∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)(b - a)

    这个公式叫做积分中值公式

    注:

    f(ξ) = (1/b-a)∫[a, b]f(x)dx

    称为函数f(x)在区间[a, b]上的平均值


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